Combien de fois peut-on réellement replier un papier sur lui même?

La légende veut qu'on ne puisse plier que 7 fois une feuille de papier sur elle-même. Cet état de fait viendrait d'un effet classique, la multiplication exponentielle (de base 2) de l'épaisseur de papier à plier : 1 épaisseur au premier pli, puis 2 épaisseurs au deuxième pli, 4 au troisième... et enfin 64 au septième. 

Britney Gallivan et son record (img Mathworld)

Il est effectivement quasi-impossible de plier jusqu'à une épaisseur 128 fois plus grande que la feuille originale... à condition d'une feuille classique, par exemple A4, que l'on plierait une fois dans un sens, la fois suivante dans le sens qui lui est perpendiculaire, et ainsi de suite.

Mais il n'est pourtant pas interdit de plier plusieurs fois dans le même sens la feuille afin d'augmenter le nombre de pli possibles. C'est ce qu'a démontré lors de sa thèse, et lors de l'émission Mythbuster (Janvier 2002) la mathématicienne Britney Gallivan, avec une feuille incroyablement longue de... papier toilette![1]

L'opération lui a coûté 85$, pour 1200 mètres de papier toilette, qu'elle réussit alors à plier 12 fois dans le sens de la largeur. Non seulement elle apportait ainsi la preuve empirique qu'il est possible de plier plus de 7 fois une feuille de papier, mais elle développa une équation permettant de déterminer la longueur nécessaire d'une feuille de papier pour que celle-ci puisse être pliée en deux, ou autant de fois qu'on le veut. 

En pratique, une feuille doit être un peu plus de 3,14 fois plus longue qu'épaisse pour être pliée en deux. Pour être pliée en quatre, une feuille devra donc être un peu plus de deux fois plus longue, sachant qu'au deuxième pliage, l'épaisseur aura doublé.

A partir de cette constatation, on peut déduire facilement la longueur d'une feuille pour que celle-ci puisse être pliée n fois, toujours dans le même sens.

Notes : L est la longueur minimum de la feuille, t est son épaisseur et n, le nombre de pliages.

Si en théorie, il n y a pas de limite au nombre de pliages possibles, la pratique ne permet pas d'envisager un nombre de pliages supérieur à 15 ou 16 : d'une part, les forces exercées lors du pliage viendront immanquablement à briser la feuille de papier, d'autre part, avec le nombre de pliages, la longueur nécessaire croît de manière exponentielle. Une feuille de papier d'épaisseur 0,1 mm, pliée 51 fois, serait plus épaisse que la distance Terre-Soleil[2]. Et sa longueur initiale serait nettement plus importante...

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Pour en savoir plus : 

[1] Gallivan, B. C. "How to Fold Paper in Half Twelve Times: An 'Impossible Challenge' Solved and Explained." Pomona, CA: Historical Society of Pomona Valley, 2002.
[2] Weisstein, Eric W. "Folding." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.

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Du bruit et des sons dans l'espace?

Serenity, film de science-fiction produit en 2005, est l'une des rares œuvres cinématographiques dans laquelle on n'entend aucun son lorsque l'action se déroule dans l'espace. Bien que cela puisse, pour certains, ruiner l'ambiance, c'est une touche peu fréquente de réalisme que de nombreux films ne partagent pas : il n y a en effet aucun son dans le vide spatial.

Une explosion dans l'espace (avec son et image)

Le son est une onde mécanique, et nécessite conséquemment un support matériel : du gaz, du solide ou du liquide, qu'importe. Dans le vide, la densité trop faible de particules ne permet pas, non seulement de propager une onde sonore, mais ne serait-ce que de la créer.

Son et densité de matière sont étroitement liées : plus un corps est dense, plus vite l'onde sonore se propage. Par exemple, la vitesse d'une onde sonore dans l'atmosphère au niveau de la mer est environ de 340 m/s. Dans l'eau par contre, elle atteint 1500 m/s. Dans la glace d'eau, près de 3 km/s et dans un solide comme l'acier, plus de 5 km/s. La vitesse du son dépend d'autres variables comme la température (elle même liée à la densité) ou la composition du milieu concerné, toutes ces variables n'ayant aucune signification dans le vide, où la température est proche du zéro absolu et la composition quasi-nulle.

Ou pourrait-on entendre des sons?

 

Bien qu'on le qualifie de vide, le vide spatial contient néanmoins des particules, dans une densité extrêmement faible. Si en théorie, une explosion sonore d'une puissance phénoménale pourrait ébranler le cosmos jusqu'à propager un choc sonore, en pratique, c'est irréaliste. Certaines explosions formidables (notamment les sursauts gammas) ont une puissance terrifiante ; toutefois, avant le moindre son, lumière et chaleur dégagées auraient tôt fait de réduire en cendre la moindre oreille à portée d'écoute.

Sur la Lune, un son provenant par exemple de l'impact d'une météorite pourrait se propager à travers le sol, à la manière d'ondes sismiques (qui sont également des ondes mécaniques). En pratique, nos système sensoriels ne permettraient pas d'entendre quoi que ce soit en collant l'oreille contre le sol. Encore moins à la surface de la lune, sur laquelle un quasi-vide nous entourerait.

Il n'y a donc que dans des milieux suffisamment denses, telle qu'une atmosphère, que l'on peut entendre des bruits. La densité minimale pour entendre un son dépend bien sûr des capacités réceptrices de l'individu ou du capteur censé enregistrer un son.

Et l'onde lumineuse dans tout ça?

Soit dit de manière anecdotique, l'onde lumineuse se propage bel et bien dans l'espace... La lumière est un étonnant paradoxe de la physique, une entité que l'on considère, depuis Young et Fresnel, à la fois comme une onde et des corpuscules. Ainsi la lumière possède des caractéristiques de l'onde (sa propagation, sa diffraction) mais possède sa propre particule (photon). Elle n'a pas besoin de milieu dense, qui ne ferait que la ralentir ou la stopper.

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Voyage dans l'espace en un temps relativement court?

Le célèbre paradoxe des jumeaux illustre un corolaire intéressant de la théorie de la relativité générale, dont plusieurs auteurs se sont servis pour rendre théoriquement faisable un voyage interstellaire. Cette hypothèse est explorée de manière théorique en prenant en compte la dilatation du temps introduite par la relativité générale. Si tant est qu'un objet puisse se déplacer rapidement, l'écoulement du temps perçu par cet objet paraitra beaucoup moins rapide que l'écoulement du temps perçu par un observateur fixe.

Ainsi, un éventuel vaisseau capable d'atteindre une grande vitesse pourrait voir son temps subjectif raccourcir à tel point qu'un voyage interstellaire deviendrait envisageable sur une échelle de temps humain.

Examinons ce qu'il en est réellement : un éventuel vaisseau spatial voyageant à une vitesse égale à 10% de celle de la lumière (ce qui fait tout de même près de 30 000 kilomètres par secondes) pourrait parcourir les 4,22 années lumières qui nous séparent de Proxima, l'étoile qui nous est la plus proche (excepté notre Soleil), en seulement 42 ans subjectifs.

Si le vaisseau revient sur Terre et parcoure une nouvelle fois cette distance à 10% de la vitesse de la lumière, son voyage aura en totalité duré 84 ans, pour le voyageur. Pour un observateur fixe resté sur Terre, il se sera déroulé... 84,4 ans! La différence est très minime comparée à l'idée classique que l'on se fait, exagérée, de la dilatation du temps.

Pour qu'une différence nette et avantageuse se fasse sentir, il faut atteindre une énergie et une vitesse incroyable! Si l'on recommence le calcul en supposant une vitesse de 80% de celle de la lumière, le temps nécessaire pour parcourir 4,22 années lumière, pour l'observateur humain, est d'environ 5,27 ans. Néanmoins, pour celui qui se déplace à la vitesse de 0,8 c, le temps subjectif deviendra 3,165 ans! C'est déjà plus avantageux...

Toutefois, les problèmes pour arriver à cette vitesse, à plus forte raison pour un vaisseau contenant des occupants, rendent ce type de voyage en pratique impossible pour l'instant. On voit qu'il faudrait atteindre des vitesses vertigineuses pour que la dilatation du temps permette de raccourcir notablement le temps (subjectif) d'un voyage. L'objet le plus rapide jamais construit par l'homme, Hélios 2, disposant de conditions particulières, d'ailleurs, pour atteindre sa vitesse maximale (comme l'effet de fronde gravitationnelle), n'a atteint qu'un 4269ème de la vitesse de la lumière, soit 0,0234%...

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Le phénomène le plus lumineux dans l'univers

Témoignant d'une énergie libérée gigantesque, le Sursaut Gamma est le phénomène le plus lumineux que l'on connaisse jusqu'à présent. Détectés une première fois en 1969 on estime leur origine à la mort d'étoiles massives, ou la formation de trous noirs par la fusion de deux étoiles binaires.

L'éjection à une vitesse incroyable (près de 99,995% de la vitesse de la lumière) de photons gamma, dans un laps de temps relativement court, produit un flash si lumineux qu'il permet de les voir jusqu'aux plus grandes distances possibles, vers les confins de l'univers. Le plus ancien et plus lointain sursaut gamma observé s'est déroulé il y'a un peu plus de 13 milliards d'années. L'univers était alors très jeune (un peu plus de 600 millions d'années).

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Pour en savoir plus :
Wikipedia : Sursauts Gamma

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Vitesses de la Terre et du Système Solaire

Si nous avons l'impression ferme d'être immobile lorsque nous ne bougeons pas, la réalité est un peu plus complexe :

La Terre tourne à une vitesse quasi constante, puisqu'elle fait un tour sur elle même en un jour. A l'équateur, cela équivaut à une vitesse de 1670 km/h en moyenne, autour du centre de la Terre.

La Terre est également en orbite autour du soleil, se déplaçant à 107 280 km/h.

Le Soleil lui même tourne dans la Voie Lactée, par rapport à son centre, à une vitesse vertigineuse de 700 000 km/h environ!

Pour un point immobile sur Terre, la vitesse relative au centre de la galaxie est donc comprise à chaque instant entre 591 000 et 809 000 km/h par rapport au centre de la galaxie!

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La vie intelligente existe-t-elle ailleurs?

En 1961, Frank Drake propose une équation permettant d'estimer la probabilité qu'il existe d'autres civilisations, extraterrestres, et plus précisément leur nombre, avec lesquelles l'humanité pourrait communiquer. Dixit Wikipédia :


où :

* N est le nombre de civilisations extraterrestres dans notre galaxie avec lesquelles nous pourrions entrer en contact,

et :

* R* est le nombre d'étoiles en formation par an dans notre galaxie, (estimée par Drake à 10/an)
* fp est la fraction de ces étoiles possédant des planètes, (0.5)
* ne est le nombre moyen de planètes par étoile potentiellement propices à la vie, (2)
* fl est la fraction de ces planètes sur lesquelles la vie apparaît effectivement, (1)
* fi est la fraction de ces planètes sur lesquelles apparaît une vie intelligente,(0.01)
* fc est la fraction de ces planètes capables et désireuses de communiquer,(0.01)
* L est la durée de vie moyenne d'une civilisation. (10 000 ans)

En prenant des valeurs plausibles selon les connaissances de son époque, Drake se rend alors compte que ce nombre est nettement supérieur à 1 (valeur qui signifierait l'existence d'une seule civilisation, la nôtre). Cette équation et son résultat revenaient donc à dire qu'il y'a tellement d'étoiles et potentiellement tellement de planètes habitables qu'à partir du moment où l'on conclue que la vie intelligente s'est développée à partir de phénomènes physiques aléatoires, alors il faut envisager l'existence d'autres civilisations extrasolaires.

Néanmoins, d'autres auteurs ont proposé par la suite des estimations plus pessimistes des paramètres de base, tentant ainsi de répondre à ce que l'on appelle le Paradoxe de Fermi : s'il existe tant de civilisations extraterrestres, ou s'il en a existé tant, comment se fait-il que nous n'ayons observé aucune trace (reconnue) d'elles?

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Pour en savoir plus :
Wikipédia : L'équation de Drake

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Existe-t-il d'autres planètes habitables?

Le 4 avril 2007, une équipe internationale composées d'astronomes français, portugais et suisses annonce la découverte de Gliese 581 c, une planète particulière à bien des égards...

Caractéristiques de la planète

Gliese 581 c est une planète tellurique gravitant autour de l'étoile Gliese 581, et orbiterait autour de celle-ci dans la zone habitable. Sa température de surface pourrait être comprise entre 0 et 40°(davantage s'il existe un effet de serre), ce qui rend possible la présence d'eau liquide dont on pense qu'il s'agit d'une composante essentielle du développement de la vie. C'est à ce jour l'exoplanète connue qui ressemble le plus à la Terre.

Planète océan, vue d'artiste (Img : le-saviez-vous.fr)

Sa taille est 1,5 fois supérieure à celle de la Terre. Les températures estimées supposent la présence d'une atmosphère. Si Gliese 581c possède effectivement une atmosphère, celle-ci présente alors certainement un effet de serre qui augmenterait les températures (sur Terre, l'effet de serre augmente la température moyenne de 33°C). Certains organismes semblables aux extrêmophiles pourraient donc se développer sur cette planète. L'observation de ses caractéristiques amènent à penser qu'il existe une grande quantité d'eau sur Gliese 581 c, peut être même est-elle une planète océan sans surface ferme. La gravité y est supérieure à celle de la Terre (entre 1,25 et 2, 2 fois supérieure).

Observations et habitabilité

Dans l'état actuel de la technologie, un voyage avec le plus rapide des objets fabriqués par l'homme, Hélios 2, mettrait près de 43000 ans pour atteindre la planète, et 20,5 ans pour renvoyer des données vers la Terre : Gliese 581 c se trouve en effet à une distance de 20,5 années lumière...

Il ne faut pas perdre de vue non plus que l'habitabilité dépend d'autres facteurs tels que le climat, les différences de température... données dont on peut se faire une idée à partir des caractéristiques orbitales. Gliese 581 c est 7 fois plus proche de son soleil, Gliese 581, que ne l'est la Terre de notre Soleil. En outre, elle pourrait être synchrone avec son soleil, ayant une période de rotation propre proche de celle de sa révolution autour de son soleil. Ces hypothèses et ces données indiqueraient les conséquences suivantes :

1. La planète pourrait présenter une face constamment ensoleillée, ou sur une grande période, et une face obscure. Si cette hypothèse est vérifiée, cela signifierait qu'il existe vraisemblablement d'effrayantes différences de température entre les deux faces. Le climat pourraient être spectaculairement violent, de même que les vents, à l'instar de Vénus. Une zone charnière vers les pôles et le terminateur pourrait cependant présenter un climat modéré.
   
2. Bien que moins chaud et plus petit que notre Soleil, celui de Gliese 581 c produirait des forces de marée 400 fois supérieures à celle observées sur Terre. En résulterait d'énormes marées si la planète est couverte d'océans, une activité tectonique violente si la planète possède un noyau interne actif.

Toutes ces particularités pourraient rendre Gliese 581 c légèrement propice à certains types de vie, mais son habitabilité par l'homme en serait remise en question.

Une quatrième planète, Gliese 581 d, fut découverte peu de temps après (avril 2009), également dans la zone habitable de ce système solaire et à une distance supérieure à celle de Gliese 581 c, de celui-ci. D'une masse supérieure près de 7 fois à celle de la Terre, elle pourrait également posséder un vaste et profond océan, et des conditions plus favorables à l'habitabilité.

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Pour en savoir plus :
Wikipedia : Gliese 581 c

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Et le Loto continue...

Un joueur de loto a moins de chances de gagner à ce jeu que de mourir dans les 5 heures après l'achat du billet!

Et encore... de 10 à 14 ans, compte tenu du taux de mortalité de cette tranche d'âge, un joueur a effectivement autant de chances de mourir dans les 5 heures suivant l'achat du billet que de remporter le gros lot.

L'un des logos du Loto (FdJ)

Avec l'âge, cette étonnante comparaison s'accentue :

• à 40 ans, un joueur a autant de chances de mourir dans les 14 minutes (pour les hommes, 28 minutes pour les femmes) après l'achat du billet que de remporter la cagnotte.
• 60 ans : 3 minutes pour les hommes, 7 pour les femmes
• 80 ans : 30 secondes pour les hommes, 50 pour les femmes
• 90 ans : entre 8 et 11 secondes!

Ces statistiques effrayantes représentent une moyenne, indépendamment des comportements ou des risques à l'échelle du particulier ou de groupes spécifiques (on pourrait établir de telles statistiques pour les ouvriers, pour les drogués, les risques-tout ou les personnes excessivement prudentes...). Également, elles concernent la version courante (voir plus bas). L'ancienne version du loto (avant 2008) invitait les joueurs à choisir 6 numéros parmi 49, pour lesquels, avec deux grilles jouées (le minimum), la probabilité de perte s'élevait déjà à 92,8% (3 numéros gagnants). La probabilité pour un gain conséquent (4 numéros au moins sur une seule grille) montait à peine à 0,09% (1 chance sur 1083!). Quant à la probabilité de remporter le gros lot, elle s'élevait à 1 chance sur 14 millions environ.

A partir de 2008, une nouvelle formule oblige le joueur à choisir 5 numéros parmi 49, plus un numéro parmi 10 (numéro chance). Cette habile manœuvre donne l'illusion d'augmenter les chances, puisqu'on choisit le 6ème numéro parmi 10 seulement, et les 5 premiers, sur 49, "comme avant"... Toutefois, en pratique autant qu'en théorie, la chance de remporter le gros lot s'avère, avec cette nouvelle formule, de 1 sur 19 millions!

Une grille du célèbre jeu

Il est par conséquent très risqué de jouer au loto, puisque vous avez étonnamment plus de chance de mourir avant le tirage que de gagner le pactole. C'est d'ailleurs, selon la Française des Jeux, le malheureux hasard survenu à une joueuse : lors de la liquidation du domicile de leur tante, deux neveux endeuillés trouvent une grille de loto remplie. Quelques jours plus tard, les numéros de la défunte sortent au loto et rapportent plusieurs millions d'euros...

A relativiser au vu de l'argent généré par les revenus du loto. Les français étant ce qu'ils sont, certains jours particulièrement propices à la superstition voient le nombre de paris atteindre plus de 11 millions!

Tenant alors compte des taxes que la Française des Jeux doit reverser à l'état, certains auteurs (comiques) considèrent ainsi que le loto n'est ni plus ni moins qu'un impôt sur les nuls en math...

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Pour en savoir plus :
Wikipedia : Loto

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